Εφαρμοσμένα Μαθηματικά: μερικές διαφορικές εξισώσεις της Μαθηματικής Φυσικής
Περιγραφή:
Το παρόν εγχειρίδιο αποτελεί εισαγωγή στις διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους δευτέρας τάξεως, οι οποίες συναντώνται σε προβλήματα της Μαθηματικής Φυσικής και απευθύνεται σε τελειόφοιτους φοιτητές των θετικών και εφαρμοσμένων επιστημών, σε μεταπτυχιακούς φοιτητές και σε επιστήμονες των αντιστοίχων κλάδων. Για την μελέτη αυτού θεωρείται απαραίτητη η γνώση του Ολοκληρωτικού Λογισμού και της Διανυσματικής Ανάλυσης. Το περιεχόμενο του βιβλίου αποτελεί μέρος της ύλης επί των μεθόδων της Μαθηματικής Φυσικής. Ο σχεδιασμός και η σύνθεση της ύλης αποβλέπουν στην απόκτηση γνώσης, η οποία θα καταλήξει στην βαθύτερη κατανόηση των αναλυομένων προβλημάτων και θα αποτελέσει μεθοδικό οδηγό για την επίλυση άλλων συναφών προβλημάτων μέσω της Ανάλυσης Fourier. Το εισαγωγικό κεφάλαιο είναι ευγενική προσφορά του Δημητρίου Σουρλά, ο οποίος διετέλεσε καθηγητής στο Τμήμα Φυσικής του Πανεπιστημίου Πατρών και αποτελεί σύντομη εισαγωγή στις σειρές και το ολοκλήρωμα Fourier.
Στο πρώτο κεφάλαιο περιγράφονται μερικά από τα προβλήματα της Μαθηματικής Φυσικής και εξάγονται οι αντιπροσωπευτικές μορφές των διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης, οι οποίες τα περιγράφουν (υπερβολικές, παραβολικές και ελλειπτικές). Σκοπός του πρώτου κεφαλαίου δεν είναι τόσον η παράθεση ικανού αριθμού προβλημάτων της Μαθηματικής Φυσικής όσον η εισαγωγή στον τρόπο προσέγγισης αυτών προκειμένου να διατυπωθούν οι διαφορικές εξισώσεις και οι συνθήκες, αρχικές και συνοριακές που τα διέπουν. Με αυτό το σκεπτικό μελετάται η διάδοση του κύματος σε χορδή, σε ράβδο και σε επίπεδη επιφάνεια, η διάδοση της θερμότητας σε στερεά κατά μία ή δύο διευθύνσεις, η κίνηση ιδανικού ή μη ρευστού, η εξίσωση της διάχυσης σωματιδίων εντός μέσου και η διάδοση του ήχου στον αέρα.
Στο δεύτερο, τρίτο και τέταρτο κεφάλαιο εξετάζονται προβλήματα, τα οποία αφορούν σε φαινόμενα χρονικά ή χωρικά. Η παρουσίαση των θεμάτων της ύλης γίνεται από τις απλές περιπτώσεις προς τις σύνθετες. Για την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων χρησιμοποιούνται οι κλασικές μέθοδοι του χωρισμού των μεταβλητών και των ιδιοσυναρτήσεων σε διάφορα συστήματα ορθογωνίων συντεταγμένων (καρτεσιανών, επιπέδων πολικών, κυλινδρικών και σφαιρικών).
Ειδικότερα στο δεύτερο κεφάλαιο εξετάζονται προβλήματα τα οποία περιγράφονται από εξισώσεις υπερβολικού τύπου και αφορούν στην διάδοση του κύματος σε χορδή, ράβδο ή επίπεδη επιφάνεια και στην διάδοση του ήχου στον αέρα. Αρχικά επιλύεται η ομογενής κυματική εξίσωση σε μία διάσταση με την μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών. Εν συνεχεία αναλύεται η μέθοδος των ιδιοσυναρτήσεων και εφαρμόζεται στην επίλυση της μη ομογενούς κυματικής εξίσωσης σε μία διάσταση. Με ανάλογο τρόπο μελετώνται τα αντίστοιχα προβλήματα, τα οποία αναφέρονται στην κυματική εξίσωση στις δύο διαστάσεις, Σε όλες τις προηγούμενες περιπτώσεις ορίζεται η συνάρτηση πηγής και συζητείται η φυσική σημασία αυτής. Επίσης ιδιαίτερη αναφορά γίνεται στην έννοια της συνάρτησης δέλτα του Dirac και στην χρήση της για την μελέτη ειδικών προβλημάτων. Ακολουθεί η μελέτη των κυματικών φαινομένων σε κυκλική μεμβράνη και σε σφαίρα και η εισαγωγή των συναρτήσεων Bessel και Legendre. Το δεύτερο κεφάλαιο κλείνει με την μελέτη κυματικών φαινομένων σε ράβδους.
Το τρίτο κεφάλαιο αναφέρεται σε εξισώσεις παραβολικού τύπου και περιλαμβάνει προβλήματα αγωγής της θερμότητας σε ράβδο, επίπεδο επιφάνεια ή στον χώρο. Όπως και στο προηγούμενο κεφάλαιο, η μελέτη των προβλημάτων γίνεται από τις ομογενείς προς τις μη ομογενείς διαφορικές εξισώσεις σε μία διάσταση και ακολούθως σε δύο διαστάσεις. Πέραν του κλασικού τρόπου επίλυσης, προσδιορίζεται σε εκάστη περίπτωση και η αντίστοιχη συνάρτηση πηγής. Σε προβλήματα δύο διαστάσεων, που αναφέρονται σε μη ομογενείς εξισώσεις, η μέθοδος των ιδιοσυναρτήσεων εκτίθεται αναλυτικά και αποδεικνύονται οι απαιτούμενες σχέσεις η ίδια δε διαδικασία ακολουθείται και για τον προσδιορισμό των αντιστοίχων συναρτήσεων πηγής. Για την μελέτη του προβλήματος της διάδοσης της θερμότητας σε ράβδο απείρου μήκους εισάγεται η έννοια της συνάρτησης πηγής και γίνεται πλήρης ανάλυση και απόδειξη της σχετικής θεωρίας. Ακολουθεί η επέκταση της μελέτης , η οποία αφορά στην συνάρτηση πηγής σε επίπεδο επιφάνεια απείρων διαστάσεων . Τέλος εξετάζονται προβλήματα τα οποία αναφέρονται στην διάδοση της θερμότητας σε κύλινδρο και σφαίρα.
Στο τέταρτο κεφάλαιο μελετώνται προβλήματα τα οποία περιγράφονται από εξισώσεις ελλειπτικού τύπου. Είναι προβλήματα ισορροπίας, τα οποία περιγράφονται από την εξίσωση του Laplace, την εξίσωση του Poisson και την εξίσωση του Helmholtz. Γίνεται εκτενής αναφορά στις ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων και στην θεμελιώδη ολοκληρωτική σχέση του Green, απόρροια της οποίας είναι η δυνατότητα επίλυσης συναφών προβλημάτων με την εισαγωγή της εννοίας της συνάρτησης πηγής.
Το πέμπτο κεφάλαιο αφορά σε περιοδικά και μη περιοδικά φαινόμενα και η μελέτη των προβλημάτων γίνεται με σειρές Fourier, το ολοκλήρωμα Fourier και τους μετασχηματισμούς Fourier.
Σε όλα τα κεφάλαια η θεωρία συνοδεύεται από την παράθεση ενδεικτικών λυμένων παραδειγμάτων και μεγάλου πλήθους επιλεγμένων άλυτων προβλημάτων.
